2.4: Vector Space
학부과정에서 벡터공간은 이런저런 성질들을 만족하는 공간으로 학습했었던 기억이 있다. 하지만 돌이켜보면 그 성질들은 결국 군(group)의 성질을 풀어쓴 것이었다. 따라서 군을 먼저 정리하고 군을 이용하게 깔끔하게 벡터공간을 정의하는 것이 이 문서의 목표이다.
Group
너무 깊게 들어갈 필요는 없지만 대수구조에 대해 간단하게 알아보자. 수학에는 추상대수학(abstract algebra)분야가 있으며 이 분야에서는 대수 구조를 다룬다. 대수 구조는 연산의 집합으로 생각하면 된다. 그리고 이러한 대수 구조를 이루는 것 중 하나가 바로 군이다.
아래 그림은 대수 구조를 나타낸다.
도표는 마치 프로그램의 상속구조처럼 읽으면 된다. 예를 들어 가장 상단을 볼 때 Magma는 Set의 성질을 상속받고 이항연산(bin. op.)에 대해 닫혀있는 성질을 추가로 갖는 것이다. 정말 무시무시하게 생긴 도표지만 관심있는 것은 어차피 군이므로 오른쪽 상단에 위치한 군(Group)을 보자.
라고 씌어있다. 역원을 갖는 모노이드라는 뜻이다. 모노이드는 결합법칙을 만족하고(Semigroup) 항등원을 갖춘 대수 구조이다. 또한 Magma의 성질도 상속하므로 이항연산에 대해 닫혀있음도 알 수 있다. 이제 군을 좀 더 이해하기 쉬운 형태로 쓰면 어떠한 이항 연산에 대해 결합법칙을 만족하고 항등원, 역원을 갖는 닫혀있는 대수 구조라고 말할 수 있다.
다시 말해, 어떤 집합 $\mathcal{G}$와 연산 $\otimes$에 대한 군 $G$은 다음과 같이 표기한다.
$$G \coloneqq (\mathcal{G}, \otimes)$$
군은 다음 공리를 만족한다.
- Closure
- Associativity
- Identity element
- Inverse element
하나씩 정의를 살펴보자.
Closure
$\mathcal{G}$의 원소는 연산 $\otimes$에 대해 닫혀있다.
$$\forall x, y \in \mathcal{G} : x \otimes y \in \mathcal{G}$$
Associativity
$\mathcal{G}$의 원소는 결합법칙을 만족한다.
$$\forall x, y, z \in \mathcal{G} : (x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$$
Identity element
$\mathcal{G}$의 모든 원소 $x$에 대해 항등원 $e$가 존재한다.
$$\exists e \in \mathcal{G} \ \forall x \in \mathcal{G} : x \otimes e = x \ \text{and} \ e \otimes x = x$$
Inverse element
$\mathcal{G}$의 모든 원소 $x$에 대해 역원 $y$가 존재한다.
$$ \forall x \in \mathcal{G} \ \exists y \in \mathcal{G} : x \otimes y = e \ \text{and} \ y \otimes x = e $$
Abelian Group
특히, 위에 언급된 네 가지 조건과 더불어 $\otimes$연산에 대해 다음 조건을 추가로 만족하면 해당 군 $G = (\mathcal{G}, \otimes)$를 아벨군(Abelian Group) 또는 가환군(Commutative Group)이라고 한다.
$$ \forall x, y \in \mathcal{G} : x \otimes y = y \otimes x $$
Vector Space
이제 벡터공간을 깔끔하게 정의하기위한 군에 대한 개념은 충분하다. 앞서 살펴본 군을 사용해 벡터공간을 정의해보자.
실수벡터공간(Real-valued Vector Space) $V = (\mathcal{V}, +, \cdot)$은 집합 $\mathcal{V}$에 대한 다음 두 연산
$$ + : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V} $$
$$ \cdot : \mathbb{R} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V} $$
에 대해 다음 조건을 만족하는 군이다.
- $(\mathcal{V}, +)$는 아벨군(Abelian Group)이다.
- $(\mathcal{V}, +, \cdot)$은 다음성질을 만족한다.
- 분배법칙(Distributivity):
- $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathcal{V} : \lambda \cdot(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \lambda \cdot \boldsymbol{x} + \lambda \cdot \boldsymbol{y}$
- $\forall \lambda, \psi \in \mathbb{R}, \ \boldsymbol{x} \in \mathcal{V} : (\lambda + \psi) \cdot \boldsymbol{x} = \lambda \cdot \boldsymbol{x} + \psi \cdot \boldsymbol{x}$
- 결합법칙(Associativity): $\forall \lambda, \psi \in \mathbb{R}, \ \boldsymbol{x} \in \mathcal{V} : \lambda \cdot (\psi \cdot \boldsymbol{x}) = (\lambda \psi) \cdot \boldsymbol{x}$
- 항등원(Neutral element): $\forall \boldsymbol{x} \in \mathcal{V} : 1 \cdot \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$
- 분배법칙(Distributivity):
그리고 위의 벡터공간 의 원소 $\boldsymbol{x} \in V$를 벡터(vector)라고 하며 덧셈에 대한 항등원을 $\boldsymbol{0}$, 영벡터(zero vector)라고 한다. 이런저런 다양한 성질을 만족해야 할 것 같지만, 수학적으로 위의 조건만 만족하면 벡터공간을 구성하게 된다.
Vector Subspace
벡터부분공간(Vector Subspaces)는 해당 공간의 원소에 대한 연산의 결과가 원래 공간을 벗어나지 않는 공간이다.
엄밀한 정의는 다음과 같다.
$V = (\mathcal{V}, +, \cdot)$이 벡터공간이고 $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{V}, \mathcal{U} \neq \emptyset$일때, $U = (\mathcal{U}, +, \cdot)$가 연산 $ + (\mathcal{U} \times \mathcal{U}) $, $ \cdot (\mathbb{R} \times \mathcal{U})$에 대한 벡터공간이면 $U \subseteq V$라고 쓰며 $U$를 $V$의 벡터부분공간이라 한다.
벡터 부분공간 $ U = (\mathcal{U}, +, \cdot) $ 역시 벡터공간이므로 벡터공간의 성질을 모두 만족해야하며 다음의 성질을 추가적으로 만족해야 한다.
- $\mathcal{U} \neq \emptyset$, in particular: $\boldsymbol{0} \in \mathcal{U}$
- Closure of $U$
- $\forall \lambda \in \mathbb{R} \ \forall {\boldsymbol{x}} \in \mathcal{U} : \lambda \boldsymbol{x} \in \mathcal{U}$
- $\forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathcal{U} : \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in \mathcal{U}$