Simplex
Simplex는 주어진 공간에서의 가장 단순한 polytope로 삼각형이나 사면체의 개념을 일반적인 차원으로 확장한 것이라고 보면 된다.
Polytope
Simplex를 다루기에 앞서 polytope라는 개념을 살펴보자. Polytope는 다포체로 번역되며(영어도 안와닿지만 번역이 되었다고 딱히 와닿지는 않는 이름이다) 도형을 임의의 차원으로 확장한 개념이다. 삼각형, 사각형과 같은 모두 2차원 polytope이며, 사면체, 육면체, 팔면체와 같은 다면체는 3차원 polytope에 해당한다. 즉 다각형(polygon)과 다면체(polyhedron)과 같은 개념을 일반적인 차원으로 확장한 것이 polytope이다. 평평한 면(flat side)를 갖는 geometric object로 생각하면 된다.
Simplex
Simplex는 주어진 공간에서 표현가능한 가장 간단한 polytope이다. 각 차원별 simplex는 다음과 같다.
- 0-simplex: point
- 1-simplex: line segment
- 2-simplex: triangle
- 3-simplex: tetrahedron
- 4-simplex: 5-cell
이를 일반화하면 $k$-simplex는 $k+1$의 꼭짓점을 갖게된다. 다각형, 다면체에 대한 일반화가 아닌 삼각형이나 정사면체의 일반화라는 점에 유의하자.
Standard Simplex (Probability Simplex)
Simplex는 Dirichlet distribution을 보다보면 만나게 되는 개념 중 하나이다. Standard simplex는 다음과 같이 정의된다.
$$\lbrace x \in \mathbb {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1 \rbrace$$
정의를 살펴보면 $x$는 $k$ 차원의 값으로 각 차원을 모두 더하면 1이되며 각각의 차원에 해당하는 값은 0보다 크거나 같은 값을 갖는다. Dirichlet distribution의 support와 동일한 조건을 만족함을 알 수 있다.