2.8: Affine Spaces
Affine 공간은 그 이름에서 느껴지는 막연한 어려움이 있지만 쉽게 생각하면 벡터공간에서 원점이 없는 개념으로 볼 수 있다. 벡터공간에서는 임의의 점을 잡아도 원점에서 해당 점을 잇는 벡터로 바라보고 벡터를 정의할 수 있지만 원점의 개념이 없는 affine 공간에서는 벡터가 정의되기 위해 최소한 두 개의 점이 주어져야 한다. 또한 벡터의 합이 표현되는 것도 벡터공간에서 생각해보면 원점기준으로 합이 표현되나 원점이 없는 affine 공간에서는 합이 정의되지 않는다. 이런 대략적인 그림을 그려보고 affine공간에 대해 자세히 알아보자.
Wikipedia: Affine Space
위 그림은 위키피디아에서 affine 공간을 설명하는 그림이다. 위의 3차원 공간에서 원점을 포함하는 평면 $P_1$이 있다. 그리고 이 $P_1$은 벡터부분공간이다. 하지만 $z$방향으로 평행이동된 평면 $P_2$는 원점을 포함하지 않을 뿐더러 $P_2$ 공간 내의 벡터 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$의 합에 대해 닫혀있지도 않다. 따라서 $P_2$는 벡터부분공간이 아니고 이 공간을 affine 공간이라고 한다.
벡터공간에서 원점의 개념이 사라지므로 당황스럽지만 사실 우리가 살 수 있는 공간은 affine 공간의 하나라고 볼 수 있다. 이 세상의 원점은 존재하지 않기때문에 나의 위치와 친구의 위치를 더한 벡터는 정의될 수가 없다. 원점이 없으므로 두 벡터의 합이 정의될 수 없는 것이다. 하지만 벡터의 차이는 유효하다. 세상의 원점을 어디로 설정하더라도 상대적인 위치차이는 정의할 수 있으며 특정 점에 대한 벡터를 더하는 것은 가능하다. 이러한 느낌을 가지고 affine 공간에 대해 다루어보자.
Affine Subspace
Affine subspace는 $V$의 벡터부분공간이 아니라는 점에 유의하자.
설명을 보면 affine space가 특별한 경우인 것 같지만 사실 대부분의 공간은 affine subspace이다. 당장 3차원에서 생각할 수 있는 원점을 지나지 않는 점, 선, 면은 모두 affine subspace이다. 벡터공간에서 표현하자면 affine space형태의 공간을 support point만큼 평행이동시킨 공간으로 그려볼 수 있다.
선형대수학에서 기본이 되는 선형시스템의 해를 구하는 방법을 생각해보자. $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$의 선형방정식을 풀 때, 일반해는 particular solution과 special solution의 합으로 나누어 풀게 되는데, 이 때 inhomogeneous system의 particular solution이 구성하는 공간이 바로 affine subspace가 되는 것이며 special solution이 구성하는 공간(homogeneous system)은 벡터부분공간이 된다.
Affine Mapping
벡터공간에서의 선형변환처럼 affine subspace에서의 affine mapping에 대해 생각해 볼 수 있다. 두 mapping은 많은 성질을 공유한다. Affine mapping은 다음과 같이 정의된다.
Properties of Affine Mapping
Affine mapping은 다음의 성질을 갖는다.
- 모든 affine mapping $\phi: V \rightarrow W$은 선형변환으로 구성할 수 있다. 예를 들어 $\Phi: V \rightarrow W$인 선형변환과 $W$ 내에서의 mapping $\tau: W \rightarrow W$가 있을 때, $\phi = \tau \circ \Phi$로 표현할 수 있으며 $\Phi$와 $\tau$는 유일하게 결정된다.
- Affine mapping끼리의 합성은 affine mapping이다.
- Affine mapping은 기하학적 구조를 보존한다.(차원, 평행 등)